Question

lim(x→0,y→0)1-xy/x²+y²

Answer 1

为了求出这个极限，我们可以使用极坐标：
令 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ)，当 (x, y) 趋近于 (0, 0) 时，r 趋近于 0。
将其代入所给出的表达式，我们得到：
lim(r→0) (1 - r² cos(θ) sin(θ)) / (r² cos²(θ) + r² sin²(θ))
化简该式，我们得到：
lim(r→0) (1 - r² cos(θ) sin(θ)) / r²
我们可以进一步简化这个表达式，注意到 cos(θ) sin(θ) 对于所有的θ都小于或等于 1/2，因此分子对于所有的 r 和 θ 都大于或等于 1/2。因此，这个极限为正无穷：
lim(r→0) (1 - r² cos(θ) sin(θ)) / r² ≥ 1/2r² → ∞ as r → 0
因此，该极限为正无穷。