Question

柯西数列收敛的充要条件是什么？

Answer 1

具体回答如下：

lim(x趋向于0+）x^tanx

=e^lim(x趋向于0+）lnx^tanx

=e^lim(x趋向于0+）lnx*tanx

=e^lim(x趋向于0+）lnx/cotx (∞/∞)

=e^lim(x趋向于0+）(1/x)/(-csc^2x)

=e^lim(x趋向于0+）-sinx

=e^0

=1

极限函数的意义：

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a。

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε，这样的数列{xn} 便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的，即为充分必要条件。

与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。