Question

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-根号（3）y=4相切。

过直线l上的一点A作角BAC=π/3，边AB过圆心O，且B，C在圆O上
（1）求圆O的方程
（2）求点A的横坐标的取值范围
详细步骤解答

Answer 1

第一题用点到直线的距离公式求R就行
圆与直线x-√3y=4相切,说明O到直线的距离为R

点P(x0,y0)，直线方程Ax+By+C=0
点到直线的距离公式
d=|Ax0+By0+C|/[√(A^2+B^2)]

（1）R=I 0-√3*0-4 I/√1平方+(-√3)平方=2
所以圆的标准方程为
x^2+y^2=4
（2）A（-2，0）、B（2，0）
P（x，y），R=2

PA=(-2-x,-y)
PO=(x,y)
PB=(2-x,-y)
|PO|=√(x^2+y^2)<2(圆的半径)
所以
0<x^2+y^2<2

|PO|^2=|PA|*|PB|
(x^2+y^2)^2=[（x+2）^2+y^2]*[（x-2）^2+y^2]
x^2-y^2=2
x^2=2-y^2
y∈(-2,2)
y^2∈(0,4)

|PA||PB|=（-2-x，-y）*（2-x，-y）
=x^2-4+y^2=x^2+y^2-4<0

又x^2+y^2-4=2（y^2-1）>-2

∴-2<|PA||PB|<0

追问

第二问问的是A的横坐标的取值范围

Answer 2

　　（1）R=I 0-√3*0-4 I/√1平方+(-√3)平方=2
　　所以圆的标准方程为
　　x^2+y^2=4
　　（2）A（-2，0）、B（2，0）
　　P（x，y），R=2

　　PA=(-2-x,-y)
　　PO=(x,y)
　　PB=(2-x,-y)
　　|PO|=√(x^2+y^2)<2(圆的半径)
　　所以
　　0<x^2+y^2<2

　　|PO|^2=|PA|*|PB|
　　(x^2+y^2)^2=[（x+2）^2+y^2]*[（x-2）^2+y^2]
　　x^2-y^2=2
　　x^2=2-y^2
　　y∈(-2,2)
　　y^2∈(0,4)

　　|PA||PB|=（-2-x，-y）*（2-x，-y）
　　=x^2-4+y^2=x^2+y^2-4<0

　　又x^2+y^2-4=2（y^2-1）>-2

　　∴-2<|PA||PB|<0