Question

在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，于正八边形没有公共边的三角形有多少个？

求详解

Answer 1

一共8个顶点。从8个顶点中任意取3个不相邻的顶点 可构成 与正八边形没有公共边的三角形。
设8个顶点分别为 A B C D E F G H
其中 A 和 H 也相邻。

约定 C(m,n) 代表从 m个对象中选出n个对象的组合方法数。

从8个顶点中无序选出2个相邻的顶点的方法数: C(8,1)*2/2 = C(8,1)
(此结果的说明：选出1个顶点后，和它相邻的顶点有2个。因为每个顶点被重复使用了2次，所以再除以2）

对以上某一组选定的相邻顶点,例如AB，与D E F G 4个顶点中的任何一个顶点均可构成三角形。这样的三角形与八边形有公共边。
这样的三角形的个数为 N1 = C(8,1)*4 = 8*4 = 32

从8个顶点中无序选出3个相邻的顶点的方法数: C(8,1)
3个相邻的顶点可构成与正八边形有公共边的三角形。这样的三角形的个数
N2 = C(8,1) =8

以上 N1 + N2 = 32 + 8 = 40，为与八边形有公共边的三角形的个数。

从8个顶点中任意取3个顶点，均可构成三角形。其个数为
N3 = C(8,3) = 8*7*6/(3*2*1) = 56

因此满足题目要求的三角形的个数为
N = C(8,3) - [C(8,1) + C(8,1)*4]
= N3 - (N2+N1) = 56 - 40 = 16 个

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做题目时候，可以直接写：
N = C(8,3) - [C(8,1) + C(8,1)*4]
= 8*7*6/（3*2*1） - [ 8 + 8*4]
= 56 -40