Question

已知,在四边形ABCD中,∠C=∠D=9N°,AB=AD+BC.若E是CD的中点,求证AE平分∠BAD,AE⊥BE

Answer 1

∠C=∠D=90°，有BC∥AD

过E作EH∥BC∥AD，E是CD的中点

则H为AB中点，EH为梯形中位线

EH=1/2*(AD+BC)

而AB=AD+BC    BH=HA

所以EH=HA=BH

EH=HA  有∠HAE=∠AEH

EH∥AD 有∠AEH=∠EAD

所以  ∠HAE=∠EAD 即AE平分∠BAD

同理                             BE平分∠ABC

∠BAD+∠ABC=180°

∠EBA+∠EAB=1/2*(∠BAD+∠ABC)=90°

所以AE⊥BE

Answer 2

证明：延长BE交AD的延长线于点F
∵∠C=∠ADC=90
∴∠C+∠ADC=180
∴AD∥BC
∴∠CBE＝∠F，∠C＝∠FDE
∵E是CD的中点
∴CE＝DE
∴△BCE≌△FDE （AAS）
∴DF＝BC，BE＝FE
∴AF＝DF+AD＝BC+AD
∵AB＝BC+AD
∴AF＝AB

∴AE平分∠BAD,AE⊥BE （三线合一）

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