Question

已知向量a=（sinx，-1），b=（cosx，3/2）

（1）当a平行于b时，求cos^2x-3sin2x的值
（2）求f（x）=（a+b）*b的最小正周期和单调递增区间

Answer 1

第一个问题：
∵向量a∥向量b，∴sinx/cosx＝－1/（3/2）＝－2/3。
∴（cosx）^2－3sin2x
＝［（cosx）^2－6sinxcosx］/［（cosx）^2＋（sinx）^2］
＝［1－6（sinx/cosx）］/［1＋（sinx/cosx）^2］＝［1－6×（－2/3）］/［1＋（－2/3）^2］
＝（1＋4）/（1＋4/9）＝45/13。

第二个问题：
∵向量a＝（sinx，－1）、向量b＝（cosx，3/2），
∴向量a＋向量b＝（sinx＋cosx，1/2），
∴（向量a＋向量b）·向量b＝（sinx＋cosx）cosx＋3/4，
∴f（x）
＝（sinx＋cosx）cosx＋3/4＝sinxcosx＋（cosx）^2＋3/4
＝（1/2）［2sinxcosx＋2（cosx）^2］＋3/4＝（1/2）（sin2x＋cos2x＋1）＋3/4。
∵y＝sin2x、y＝cos2x的周期是一样的，且最小正周期显然是π。
∴f（x）的最小正周期是π。

第三个问题：
∵f（x）
＝（1/2）（sin2x＋cos2x＋1）＋3/4＝（√2/2）［sin2xcos（π/4）＋cos2xsin（π/4）］＋5/4
＝（√2/2）sin（2x＋π/4）＋3/4。
∴当2kπ－π/2＜2x＋π/4＜2kπ＋π/2时，f（x）单调递增。
由2kπ－π/2＜2x＋π/4＜2kπ＋π/2，得：2kπ－3π/4＜2x＜2kπ＋π/4，
∴kπ－3π/8＜x＜kπ＋π/8。
∴f（x）的单调递增区间是（kπ－3π/8，kπ＋π/8），其中k为任意整数。