Question

高等数学重要极限公式

f(x)g(X)=[A+α(X)][B+β(x)]=AB+Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)怎么推出 lim[f(x)g(x)]=多少

Answer 1

LZ，条件是不够的。学高数一定要把握好条件。缺了两点第一，x趋向于什么？（正负）无穷，还是x0（左右）。第二，f,g的极限是否存在。
这样，我就按照条件叙述完的情况给LZ说吧。证明大概是这样。
由于f(x),g(X)极限存在且分别为A,B则α(X)，β(x)为无穷小。因此Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)为无穷小
又f(x)g(X)=[A+α(X)][B+β(x)]=AB+Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)
故不管x趋向于神马，lim[f(x)g(x)]=AB。
当然，这种证明是假定楼主知道无穷小的概念，以及无穷小与无穷小或常数的乘积仍然为无穷小这两个定理的。
如果不知道的话，具体的证明应当是这样。（假定为x趋向x0时的极限）假设f(x),g(X)极限存在且分别为A,B
则对任意的ε>0，存在δ1,δ2使得x在x0的δ1空心领域有|f(x)-A|<ε,在x0的δ2空心领域|g(X)-B|<ε
则取δ=max{δ1,δ2}，使得当x在x0的δ空心领域时 有|f(x)g(X)-AB|=|(f(x)-A)g(x)+A(g(x)-B)|<=|(f(x)-A)g(x)|+|A(g(x)-B)| 由于g(x)极限存在，则由局部有界性，对正数M有|g(x)|<=M则上式有
|f(x)g(X)-AB|=|(f(x)-A)g(x)+A(g(x)-B)|<=|(f(x)-A)g(x)|+|A(g(x)-B)|<=M|(f(x)-A)|+|A||(g(x)-B)|<(M+|A|)ε
则由于ε的任意性知道，当x趋向x0时lim[f(x)g(x)]=AB

Answer 2

LZ，条件是不够的。学高数一定要把握好条件。缺了两点第一，x趋向于什么？（正负）无穷，还是x0（左右）。第二，f,g的极限是否存在。
这样，我就按照条件叙述完的情况给LZ说吧。证明大概是这样。
由于f(x),g(X)极限存在且分别为A,B则α(X)，β(x)为无穷小。因此Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)为无穷小
又f(x)g(X)=[A+α(X)][B+β(x)]=AB+Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)
故不管x趋向于神马，lim[f(x)g(x)]=AB。
当然，这种证明是假定楼主知道无穷小的概念，以及无穷小与无穷小或常数的乘积仍然为无穷小这两个定理的。
如果不知道的话，具体的证明应当是这样。（假定为x趋向x0时的极限）假设f(x),g(X)极限存在且分别为A,B
则对任意的ε>0，存在δ1,δ2使得x在x0的δ1空心领域有|f(x)-A|<ε,在x0的δ2空心领域|g(X)-B|<ε
则取δ=max{δ1,δ2}，使得当x在x0的δ空心领域时
有|f(x)g(X)-AB|=|(f(x)-A)g(x)+A(g(x)-B)|<=|(f(x)-A)g(x)|+|A(g(x)-B)|
由于g(x)极限存在，则由局部有界性，对正数M有|g(x)|<=M则上式有
|f(x)g(X)-AB|=|(f(x)-A)g(x)+A(g(x)-B)|<=|(f(x)-A)g(x)|+|A(g(x)-B)|<=M|(f(x)-A)|+|A||(g(x)-B)|<(M+|A|)ε
则由于ε的任意性知道，当x趋向x0时lim[f(x)g(x)]=AB

Answer 3

该极限为0/0型，直接用罗比达法则，上下分别求导，最后答案为4/3 分子的导数=（1 2x）^-1/2，分母的导数=(1/2)x^-1/2，原极限就=lim2[(1 2x)/x]^-1/2,把4带进去
设y=n根号（2^n 3^n 5^n),lny=1/n ln(2^n 3^n 5^n) lim[ln(2^n 3^n 5^n)]/n=lim(2^nln2 3^nln3 5^nln5)/2^n 3^n 5^n=ln5 原式=5
1.dy/dx=cos(π(cosx)^2)*(cosx-sinx)过程：dy/dx=cos(π(cosx)^2)*(-sinx)-cos(π(sinx)^2)*cosx=-cos(π(cosx)^2)sinx-cos(π-π(cosx)^2)*cosx=-cos(π(cosx)^2)sinx cos(π(cosx)^2)*cosx=cos(π(cosx)^2)*(cosx-sinx) 等一下，正在算 2.a=2过程左边=lime^((1 2a/(x-a))/(1/x)=lime^((1 2a/(x-a))/(1/(x-a))//同阶无穷小替换1/x~1/(x-a)
=lime^(1 2au)/u//用u替换1/(x-a),则u->0 =lime^(1 2au)*2a//洛必达法则 =2a于是2a=4得到a=2 打出来的排版效果不好...//后面的是这一步的依据 唉，看漏了，等等