Question

微分方程和特征方程的关系

Answer 1

微分方程和特征方程是紧密相关的概念。

首先，对于一个线性常微分方程：

$$
\frac{d^n y}{dt^n} + a_1 \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \cdots + a_n y = f(t)
$$

其中 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 均为常数，$f(t)$ 是已知的函数，我们可以通过变量代换 $y = e^{rt}$ 将其转化为关于 $r$ 的代数方程，即特征方程：

$$
r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_n = 0
$$

解出特征方程的所有根 $r_1, r_2, \cdots, r_n$，就可以得到微分方程的通解：

$$
y(t) = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t} + \cdots + c_n e^{r_n t} + y_p(t)
$$

其中 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 为待定常数，$y_p(t)$ 为微分方程的一个特解。

另一方面，对于非齐次线性微分方程，如果其对应的齐次线性微分方程的特征方程的根为 $r_1, r_2, \cdots, r_n$，则该微分方程的通解可以表示为：

$$
y(t) = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t} + \cdots + c_n e^{r_n t} + y_p(t)
$$

其中 $y_p(t)$ 为非齐次线性微分方程的一个特解，而待定常数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 的取值则由初始条件所决定。

因此，微分方程和特征方程是密切相关的概念，通过特征方程我们可以找到微分方程的通解，从而解决各种物理和工程问题。