当a,b为正整数时,求方程x^(a+b)+y=x^a*y^b的正整数解.
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由方程可知x^a|y
设y=kx^a
从而x^(a+b)+kx^a=x^a*k^b*x^(a*b)
x^b+k=k^b*x^(a*b)
从而x^b|k
设k=m*x^b
x^b+m*x^b=k^b*x^(a*b) ------1
1+m=k^b*x^(a*b-b)
1=m^b*x^b^b*x^(a*b-b)-m
故m=1
1式变为x^b+x^b=x^b*x^(a*b)
2=x^(a*b)
从而x=2,a=b=1,y=4
设y=kx^a
从而x^(a+b)+kx^a=x^a*k^b*x^(a*b)
x^b+k=k^b*x^(a*b)
从而x^b|k
设k=m*x^b
x^b+m*x^b=k^b*x^(a*b) ------1
1+m=k^b*x^(a*b-b)
1=m^b*x^b^b*x^(a*b-b)-m
故m=1
1式变为x^b+x^b=x^b*x^(a*b)
2=x^(a*b)
从而x=2,a=b=1,y=4
追问
为什么“1=m^b*x^b^b*x^(a*b-b)-m
故m=1”？谢谢，你的答案是对的。
追答
因为m是等式右边的因子，所以m是1的因子，1的因子只有1，所以m=1
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