Question

已知曲线y=x^2+ax+b与2y=xy^3-1在点(1,-1)处有公切线,求a b

Answer 1

点A(1,-1)在曲线y=x^2+ax+b上，
所以1+a+b=-1,
a+b=-2.①
y'=2x+a,
对2y=xy^3-1微分得2dy=y^3dx+3xy^2dy,
(2-3xy^2)dy=y^3dx,
dy/dx=y^3/(2-3xy^2),
两曲线在A处的导数相等，2+a=1,a=-1,
代入①，得b=-1.

Answer 2

助手
已知曲线y=x^2+ax+b，因为公切线要过点(1,-1)，所以(1,-1)应在y=x^2+ax+b的图像上，即 -1=1+a+b。
又已知2y=xy^3-1，对该方程分别求一阶和二阶导数，得：
2y'=y^3+3xy^2y'
2y''=6yy'dx^2+6y^2y'dx^2+2yy''x
在点(1,-1)处有公切线，所以y(1)=-1同样也在2y=xy^3-1的图像上，因此2(-1) =1* (-1)^3-1=-2，即y(1)=-1为xy^3-1=0的解，代入原式得a=-2b。
综上可得：
-1=1+a+b => -1=1-2b+b => b=0
a=-2b => a=0
因此，a=0，b=0.

Answer 3

解：y=x²+ax+b
y′=2x+a
2y=xy³-1
2y′=y³+3xy²y′
将(1，-1)代入上式可得
2y′=-1+3y′
y′=1
因为y=x²+ax+b过(1，-1)点，
所以有a+b=-2，
又y′=2+a=1，
所以a=-1，b=-1
答：a和b的值发别是-1，-1。