Question

判断函数f(x)=ax除以x的平方-1(a不等于0)在区间(-1,1)上的单调性

求各位数学大神答得仔细点，在变形的那一步最好说的仔细点，最好说说是如何变成那样子的

Answer 1

解：
令-1<x1<x2<1
于是有-1<x1x2<1.
x1^2-1<0,x2^2-1<0.
x2-x1>0
于是有f(x1)-f(x2)
=a[x1/(x1^2-1)-x2/(x2^2-1)]
=a[(x1x2+1)(x2-x1)/(x1^2-1)(x2^2-1)]
而x1x2+1>0,(x1^2-1)(x2^2-1)>0
所以有当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,所以有函数在区间（-1，1）是为单调减函数；
当a=0时，f(x)=0函数为常数。
当a<0时，有f(x1)-f(x2)<0，所以有函数在区间（-1，1）上是单调增函数。

Answer 2

X定义在（-1,1）上，则X^2-1<0。设-1<x1<x2<1,则
f(x1)-f(x2)=ax1/(x1^2-1)-ax2/(x2^2-1)=ax1x2^2-ax1^2x2-ax1+ax2/(分母大于0，略去)
=a(x1x2-1)(x2-x1)/(分母大于0，略去)

其中 x2-x1>0 ,x1x2+1>0,分母>0

则 a>0 f(x1)-f(x2)>0 递减
a<0 f(x1)-f(x2)<0 递增