Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+b)/[(2^x+1)+a]是奇函数

（1）求a,b的值（2）若对于任意的t∈R，不等式f(t^2-2t)+f(t^2-k)<0恒成立，求k的取值范围

Answer 1

（1）对R上的奇函数来说，f(0)=0,即-1+b=0,b=1.
F(x)=(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)
又有F(-x)=- F(x)
(-2^(-x)+1)/(2^(-x+1)+a)= -(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)……左边式子的分子分母同乘以2^x
(-1+2^x)/(2+a�6�12^x)= (2^x-1)/(2^(x+1)+a)
所以2+a�6�12^x=2^(x+1)+a
a(2^x-1)= 2^(x+1)-2, a=2.
（2）F(x)=(-2^x+b)/(2^(x+1)+a)
(1)对R上的奇函数来说，f(0)=0,即-1+b=0,b=1.
F(x)=(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)
又有F(-x)=- F(x)
(-2^(-x)+1)/(2^(-x+1)+a)= -(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)……左边式子的分子分母同乘以2^x
(-1+2^x)/(2+a�6�12^x)= (2^x-1)/(2^(x+1)+a)
所以2+a�6�12^x=2^(x+1)+a
a(2^x-1)= 2^(x+1)-2, a=2.
(2)f(t�0�5-2t)+f(2 t�0�5-k)<0
f(t�0�5-2t) < -f(2 t�0�5-k)……利用奇函数定义
f(t�0�5-2t) < f(k-2 t�0�5)……利用单调递减
所以t�0�5-2t> k-2 t�0�5
K<3t�0�5-2t
3t�0�5-2t=3(t-1/3) �0�5-1/3≥-1/3
所以恒成立时，只需k小于函数3t�0�5-2t的最小值即可。
∴K<-1/3.