Question

一元二次方程实际问题1题

某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
请回答：第一轮感染了1+x台电脑
第二轮感染了（1+x）x台电脑
第三轮感染了多少台电脑（用代数式表示）请说出原因
第四轮呢（用代数式表示）请说出原因

Answer 1

解：
设：每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑。
每轮感染新增被感染电脑数，构成等比数列，公比是x
1、原始情况：
有1台电脑被感染；
2、第一轮感染后：
新增被感染电脑x台，共有(1+x)台电脑被感染；
3、第二轮感染后：
新增被感染电脑(1+x)x台，共有(1+x)x+(1+x)台电脑被感染。
而：(1+x)x+(1+x)=x²+2x+1=(x+1)²
4、第三轮感染后：
新增被感染电脑x(x+1)²台，共有x(x+1)²+(x+1)²台电脑被感染。
而：x(x+1)²+(x+1)²=(x+1)(x+1)²=(x+1)³
……
由以上，自然得到假设：第n轮感染后，共有(x+1)^n台电脑被感染。
命题：第n轮后被感染的电脑总数是f(n)，有：f(n)=(x+1)^n
下面，在用数学归纳法，对这个命题进行证明。
证：
1、n=1时：新增被感染电脑x台，共有(1+x)台电脑被感染
即：f(1)=x+1=(x+1)^1，命题成立。
2、设：n=k时命题成立，即：f(k)=(x+1)^k
3、当n=k+1时：
依据题目所给感染条件，得到新增被感染电脑的台数：xf(k)，
此时，被感染的电脑总台数是：f(k+1)=xf(k)+f(k)=f(k)(x+1)=[(x+1)^k](x+1)=(x+1)^(k+1)
即：f(k+1)=(x+1)^(k+1)
因此，命题成立。
证毕。

由上述证明，有：f(4)=(x+1)^4
即：第四轮，共有(x+1)^4台电脑被感染。

追问

第三轮感染了多少台电脑（用代数式表示）请说出原因
第四轮呢（用代数式表示）请说出原因
是第三轮感染了多少台电脑，一二轮除外
第四轮同上

追答

已经给出了证明的结果：第n轮，被感染的电脑是x[(x+1)^(n-1)]台，共有(x+1)^n台电脑被感染。
因此：
第三轮感染了x(x+1)²台电脑，共有(x+1)³台电脑被感染。
第四轮感染了x(x+1)³台电脑，共有(x+1)^4台电脑被感染。
至于原因嘛，在解答中我已给出了证明。不再赘述

追问

为什么第三轮感染了新增被感染电脑x(x+1)²台
而不是[（x+1）x]x台，解释一下，（x+1）x台电脑再感染x台电脑，就是[（x+1）x]x台

追答

第二轮，被感染的电脑总台数是：(1+x)x+(1+x)=(1+x)(x+1)=(1+x)²
假设：每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑
因此：第二轮新增被感染电脑台数是：[(1+x)²]x=x(1+x)²
明白了吗？

追问

不明白，不明白（x+1）x（x+1）
为什么之后成个x+1而不是x

追答

仔细看我的解答，乘的是x，不是x+1！
原因是：每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑