Question

两个导数能不能用零点定理？

Answer 1

在回答这个问题之前，需要先了解一些相关的定理和概念。

• 导数介值定理：设f(x)在[a,b]上可导，则对于任意A和B，其中A<B，都存在一个数c∈(A,B)，使得f(B)−f(A)B−A=f′(c)

• 导数零点定理：设f(x)在[a,b]上可导，且f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f′(c)=0

• 费马定理：设f(x)在x0处取得极值，且在x0处可导，则f′(x0)=0

通过这些定理，我们可以回答问题：两个导数能不能用零点定理？

根据导数零点定理，如果f′(a)和f′(b)异号，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f′′(c)=0。但这并不能推出两个导数都为零。举个例子，可以考虑函数f(x)=x3，在x=0处取得极小值，f′(0)=0，但f′′(0)=0。因此，不能用导数零点定理来证明两个导数都为零。

然而，如果要证明两个导数都为零，可以用费马定理。如果f′(a)=0且f′(b)=0，且f(x)在(a,b)上可导，则f(x)在(a,b)上取得极值。根据费马定理，这个极值点处的导数为零。因此，两个导数都为零。

需要注意的是，这个结论只适用于可导函数。对于不可导的函数，可能存在导数为零的点，也可能不存在。

此外，还需要注意一个细节：导数零点定理只适用于可导函数。如果导函数f′(x)在(a,b)上存在振荡间断点，那么这个定理就不再适用。举个例子，可以考虑函数f(x)=x2sin⁡(1/x)在x=0处的情况，f′(x)在x=0处不存在，但在(0,1]上存在振荡间断点。因此，导数零点定理只适用于连续可导函数。