Question

在给定的锐角三角形ABC中，求作一 个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G 分别落在AC、AB

在给定的锐角△ABC中，作一 个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G 分别落在AC、AB边上，作法如下：
第一步：画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正 方形D′E′F′G ′，（如图）；第二步：连结BF ′ 并延长交AC于点F；第三步：过F点作FE⊥BC交BC于E；第四步：过F点作FG‖ BC交AB于点G ；第五步：过G点作GD上BC，垂足为点 D，四边 形DEFG即为所求的正方形． 问题：①证明上述所求作的四边形DEFG为正方形 ②在△ABC中，如果BC=6＋根号3，∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，求上 述正方形DEFG的边长

Answer 1

如图，

①∵E'F'⊥BC，EF⊥BC，

∴E'F'∥EF，

∴△BE'F'∽△BEF，

∴E'F'/EF=BF'/BF，

∵F'G'∥BC，FG∥BC，

∴F'G'∥FG，

∴△BF'G'∽△BFG，

∴F'G'/FG=BF'/BF，

又∵E'F'=F'G'，

∴EF=FG，

∵∠GDE=∠DEF=∠EFG=90°，

∴四边形DEFG是矩形，

∴四边形DEFG是正方形。

 

②思路如下：

作AH⊥BC于H，交FG于K，

则KH=EF=FG，

∵∠ABC=45°，∠BAC=75°，

∴∠C=60°

设CH=X，则AH=√3X，BH=AH=√3X

∴X+√3X=6+√3

解得X

设正方形DEFG的边长为Y，

则AK=√3X-Y，

由△AGF∽△ABC得

AK/AH=FG/BC，

由此解得关于Y的方程即可。