Question

有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和是21,中间两数之和是18,求这四个数~

过程详细点，要解答过程，谢谢~

Answer 1

设这四个数依次为a-d、a、a+d、(a+d)^2/a，依题意有：
(a-d)+(a+d)^2/a=21…………………（1）
a+(a+d)=18…………………………（2）
由(2)得到d=18-2a，代入(1)有：
a-(18-2a)+(a+18-2a)^2/a=21
===> 3a-18+(18-a)^2/a-21=0
===> 3a-39+(18-a)^2/a=0
===> 3a^2-39a+324-36a+a^2=0
===> 4a^2-75a+324=0
===> (a-12)(4a-27)=0
===> a=12，或者a=27/4
则，d=-6，或者d=9/2
所以，这四个数依次为：18、12、6、3；或者9/4、27/4、45/4、75/4.

Answer 2

解：
首末两数之和是21,中间两数之和是18,不妨
设这四个数为(21-y),(18-x),x,y则
等差中项得：2(18-x)=(21-y)+x ①
由等比中项得：x²=(18-x)y ②

由①得y=3x-15,代入②整理得
4x²-69x+270=0

解得：x1=6, x2=45/4
当x=6时，18-x=12, y=3, 21-y=18, 这4个数是18、12、6、3
当x=45/4时 18-x=27/4,y=75/4, 21-y=9/4.这4个数是9/4 ,27/4, 45/4, 75/4

Answer 3

设为x,a-d,a,a+d
则x+a+d=21
x=21-a-d
a-d+a=18
d=2a-18
所以x=21-a-2a+18=39-3a

前三个等比
(a-d)²=ax
所以(18-a)²=a(39-3a)
324-36a+a²=39a-3a²
4a²-75a+324=0
(4a-27)(a-12)=0
a=27/4,a=12

a=27/4,d=2a-18=-9/2,x=21-a-d=75/4
a=12,d=2a-18=6,x=21-a-d=3

所以是75/4,45/4,27/4,9/4
或3,6,12,18