Question

用分离常数法求值域

y=（x方+2x+2）/（x+1）

Answer 1

y=(x²+2x+2)/(x+1)
=[(x+1)²+1]/(x+1)
=x+1+[1/(x+1)]
≥2
当且仅当x+1=1/(x+1)时即x=0或x=-2时取到等号

追问

2是哪来的啊？答案上还有一个解是≤-2呢

追答

根据基本不等式a+b≥2ab，这里的a是x+1，b是1/(x+1)

追问

用判别式法解这道题是（-无穷，-2】∪【2，+无穷），用分离常数法怎么解出≤-2这个解啊？

追答

不好意思解错了。
y=(x²+2x+2)/(x+1)
=[(x+1)²+1]/(x+1)
=x+1+[1/(x+1)]
当x+1≥0即x≥-1时
根据基本不等式a+b≥2√ab
y≥2，当且仅当x+1=1/(x+1)时即x=0或x=-2(舍)时取到等号
当x+1＜0即x＜-1时
原式=-[(-x-1)+1/(-x-1)]
根据基本不等式a+b≥2√ab
y≤-2，当且仅当x+1=1/(x+1)时即x=0(舍)或x=-2时取到等号

Answer 2

y=[(x+1)^2+1]/(x+1)
y=(x+1)+1/(x+1)≥2
所以值域为[2,正无穷)

追问

你看是不是还有个解（-无穷，-2】