Question

高数问题

证明:一列单调上升数列X1<X2<X3<Xn<---,Xn趋近a,成立limF(Xn)=F(a)
则单调函数F(X)在点a左连续

Answer 1

左连续函数的概念,对于任何数ε> 0，无论多小，存在一定数量δ>0，使得对所有的a -δ<x<a，函数F（x）的价值将满足
|F（x） - F（a）|<ε

如今由于序列xn单调上升且小于a，(X1<X2<X3<Xn<a)
根据单调有界数列极限必存在可知lx趋于a的左极限imF(x)存在，又由于lim xn=a，limF(xn)=F(a)，所以根据数列极限和函数极限的关系，a -δ<x<a时有 |F（x） - F（a）|<ε，即F(x)左连续。

Answer 2

由于序列xn单增且小于a，根据单调有界数列极限必存在可知lx趋于a的左极限imf(x)存在，又由于limxn=a，limf(xn)=f(a)，所以根据数列极限和函数极限的关系，lx趋于a-时有imf(x)=limf(xn)=f(a)，即f(x)左连续。