Question

一道高一数学题

已知x>=0,y>=0,x+2y=1,则2x+3y^2的最小值为

Answer 1

你好，此题有两种思路。
既然x≥0，y≥0，x+2y=1则有
x=1-2y≥0，0≤y≤1/2，
y=1/2-x/2≥0，0≤x≤1，

代入y=1/2-x/2：2x+3y²=2(1-2y)+3y²=2-4y+3y²=3(y²-4/3y+2/3)=3[(y-2/3)²-4/9+2/3]=3(y-2/3)²-4/3+2=3(y-2/3)²+2/3,因为0≤y≤1/2,所以当y=1/2时，2x+3y²有最小值3/4

代入x=1-2y：2x+3y²=2x+3(1/2-x/2)²=2x+3(1/4-x/2+x²/4)=2x+3/4-3x/2+3x²/4=3x²/4+1/2x+3/4=3/4(x²+2/3x+1)=3/4[(x+1/3)²-1/9+1]=3/4[(x+1/3)²+8/9]=3/4(x+1/3)²+2/3,因为0≤x≤1,所以当x=0时，2x+3y²有最小值3/4

Answer 2

x+2y=1,∴x=1-2y
则z=2x+3y^2=3y^2-4y+2, 0≤y≤1/2
一般在y1=2/3时，z有最小值，但y1在y取值范围的右边
∴z=2x+3y^2=3y^2-4y+2,在 0≤y≤1/2是递减函数，其最小值为
z(1/2)=3/4
注：这类题一定要考虑变量的取值范围。没有复核，自己按此方法再算算。祝进步成功！

Answer 3

把原式化为x＝1－2y带入2x＋3y∧2中得：
2－4y＋3y∧2
另2－4y＋3y∧2＝z则求z的最小值
把3y∧2-4y＋2＝z化为：
3（y-2/3）∧2＋1/3＝z得当y＝2/3时z最小，为1/3。

Answer 4

吧x=1-2y代入得2x+3y^2=3y^2-4y+2=3（y-2/3)^2+2/3

因为x大于或等于0，所以1-2y大于或等于0，故y小于等于1/2，有二次函数的性质知，最小值为y=1/2,x=0时取到，为3/4

Answer 5

x=1-y2>=0，则0=<y<=1/2，将x=1-2y，代入那个式子，就成了一个关于y的二次函数啦。望采纳！