Question

9.已知正方形ABCD的边长为6,如果P是正方形内一点,且PB=PD=二根五，那么AP的长为？

Answer 1

根据对称性，P在正方形ABCD的对角线AC上，且P有两个可能的位置。
作PE垂直AD于E，设PE=AE=x，DE=6-x，在△PED中用勾股定理：
x²+（6-x）²=（2√5）²，
2x²-12x+36=20，
2x²-12x+16=0,
x²-6x+8=0,
(x-2)(x-4)=0,
x=2,或，x=4；
AP=2√2，或，AP=4√2；

Answer 2

分别以BC,BA为x,y轴建立直角坐标系，则C(6,0),A(0,6),D(6,6),设P(x,y),则
x^2+y^2=(x-6)^2+(y-6)^2=20,
由前者，x+y=6,y=6-x,①
代入后者，得2x^2-12x+16=0,
x^2-6x+8=0,
解得x=2或4，
代入①，得y=4或2，
AP^2=x^2+(y-6)^2=8或32，
所以|AP|=2√2或4√2.