Question

请教高数大神一道题目

Answer 1

郭敦顒回答：
球的表面积S球=4πr²=4×6²π=452.39平方英尺
设计的水箱表面积为450平方英尺
452.39平方英尺－452平方英尺=2.39平方英尺，这个差为底球冠表面积（S球冠）与圆锥侧面的表面积（S锥侧）之差。
∴S球冠－S锥侧=2.39平方英尺，S锥侧=S球冠－2.39平方英尺，
用尝试—逐步逼近法求解——
设x2=2英尺，则S球冠=2πr h=2×6×2π=75.4
设球冠圆即圆锥底面圆的半径为R英尺，圆锥的高为x2英尺，圆锥侧面的母线长为l英尺，则
R=√[6²－（6－2）²]=√20=4.47214，
l²－R²=（x1）²，∴（x1）²= l²－20，l²=（x1）²+20，
∴S锥侧=πRl=4.47214πl=S球冠－2.39= 75.4－2.39=73.01
∴l=73.01/（4.47214π）=5.2（英尺）
（x1）²= l²－20=5.2²－20=7.04
x1=2.653（英尺）
水箱体积记为V水箱，
V水箱=V球－V球缺+V锥
V球=（4/3）πr³=（4/3）6³π=904.78（英尺³）
V球缺=（πh/6）（h²+3R²）=（2π/6）（2²+3×4.47214²）=67.02
V锥=（1/3）πR²x1=（1/3）4.47214²×2.653π=55.56
V水箱=V球－V球缺+V锥=904.78－67.02+55.56=893.32（立方英尺）

当x2=1.5英尺时，则S球冠=2πr h=2×6×1.5π=56.55
R=√[6²－（6－1.5）²]=√15.75=3.9686，
l²－R²=（x1）²，∴（x1）²= l²－15.75，
∴S锥侧=πRl=3.9686πl=S球冠－2.39= 56.55－2.39=54.16
∴l=54.16/（3.9686π）=4.344（英尺）
（x1）²= l²－15.75=4.344²－15.75=3.1205
x1=1.7665（英尺）
V球=（4/3）πr³=（4/3）6³π=904.78（英尺³）
V球缺=（πh/6）（h²+3R²）=（1.5π/6）（1.5²+3×3.9686²）=38.88
V锥=（1/3）πR²x1=（1/3）3.9686²×1.7665π=29.14
V水箱=V球－V球缺+V锥=904.78－38.88+29.14=895.04（立方英尺）

当x2=1.4英尺时，则S球冠=2πr h=2×6×1.4π=52.78
R=√[6²－（6－1.4）²]=√14.84=3.8523，
l²－R²=（x1）²，∴（x1）²= l²－14.84，
∴S锥侧=πRl=3.8523πl=S球冠－2.39= 52.78－2.39=50.39
∴l=50.39/（3.8523π）=4.1637（英尺）
（x1）²= l²－14.84=4.1637²－14.84=2.496
x1=1.58（英尺）
V球=（4/3）πr³=（4/3）6³π=904.78（英尺³）
V球缺=（πh/6）（h²+3R²）=（1.4π/6）（1.4²+3×3.8523²）=34.07
V锥=（1/3）πR²x1=（1/3）3.8523²×1.58π=24.55
V水箱=V球－V球缺+V锥=904.78－34.07+24.55=895.26（立方英尺）

当x2=1.3英尺时，则S球冠=2πr h=2×6×1.3π=49.01
R=√[6²－（6－1.3）²]=√13.91=3.7296，
l²－R²=（x1）²，∴（x1）²= l²－13.91，
∴S锥侧=πRl=3.7296πl=S球冠－2.39= 49.01－2.39=46.62
∴l=46.62/（3.7296π）=3.9789（英尺）
（x1）²= l²－13.91=3.9789²－13.91=1.9214
x1=1.386（英尺）
V球=（4/3）πr³=（4/3）6³π=904.78（英尺³）
V球缺=（πh/6）（h²+3R²）=（1.3π/6）（1.3²+3×3.7296²）=29.55
V锥=（1/3）πR²x1=（1/3）3.7296²×1.386π=20.19
V水箱=V球－V球缺+V锥=904.78－29.55+20.19=894.42（立方英尺）

∵895.26＞894.42，895.26＞895.04，
∴当x1=1.58英尺，x2=1.4英尺时，
max V水箱= 895.26立方英尺。

追问

真的很感谢您为我解答，感觉用几个数字验证进而逼近，而且所取得几个数字比较特殊，有很大的偶然性啊，而且所得的结论很不具有说服力。

Answer 2

这是数学建模题目吗，体积和表面用x1,x2好表示，但要求最值就有点复杂。

追问

能不能帮我做一下，大神

Answer 3

很简单 就不告诉你

追问

学渣很急求答案，大神帮忙吧。