Question

这个积分怎么算？

∫e∧(-t∧2)dt

Answer 1

如果是不定积分，积不出来。

如果是(-∞，+∞)上定积分，结果是 √π（泊松积分）

济大学高等数学书中有（下册二重积分极坐标部分）
设u=∫(-∞，+∞) e^(-t^2)dt
两边平方： 下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
= π
这样u^2=π，因此u = √π

Answer 2

• f（x）=∫[0,x]te^（-t^2）dt=1-e^（-x^2）

• ∫te^（-t^2）dt=-∫e^（-t^2）d（-t^2）=-e^（-t^2）
  

根据“反对幂三指”先后顺序，前者为u，后者为v（例：被积函数由幂函数和三角函数组分部积分法成则按口诀先积三角函数（按公式∫udv = uv - ∫vdu + c把幂函数看成U，三角函数看成V，））。原公式： (uv)'=u'v+uv'求导公式 ： d(uv)/dx = (du/dx)v + u(dv/dx) 写成全微分形式就成为 ：d(uv) = vdu + udv