Question

计算定积分∫0到½π cosx（e^2x）dx？

Answer 1

让我们考虑解决这个定积分。
我们可以使用分部积分法来将 cos(x) 分解成一个可积函数和一个可微函数的积：
∫cos(x) e^(2x) dx = 1/2cos(x)e^(2x) - 1/2∫sin(x)e^(2x) dx
接下来，我们再次应用分部积分法，这一次将 sin(x) 和 e^(2x) 分解：
∫sin(x)e^(2x) dx = 1/2sin(x)e^(2x) - 1/2∫cos(x)e^(2x) dx
将以上两个式子代入原始积分，得到：
∫0到½π cosx（e^2x）dx = 1/2cos(½π)e^(π) - 1/2cos(0)e^(0) - 1/2∫0到½π sin(x)e^(2x) dx
由于 cos(½π) = 0 和 cos(0) = 1，上式简化为：
∫0到½π cosx（e^2x）dx = 1/2e^(π) - 1/2 - 1/2∫0到½π sin(x)e^(2x) dx
现在，我们使用分部积分，将 sin(x) 分解成可积函数和可微函数的积，得到：
∫0到½π sin(x)e^(2x) dx = -1/2sin(x)e^(2x) + 1/2∫e^(2x) cos(x) dx
代入简化的积分式子，得到：
∫0到½π cosx（e^2x）dx = 1/2e^(π) - 1/2 + 1/4e^(π) - 1/4cos(½π)
由于 cos(½π) = 0，上式进一步简化为：
∫0到½π cosx（e^2x）dx = (3/4)e^(π) - 1/2
因此，定积分∫0到½π cosx（e^2x）dx 的结果是 (3/4)e^(π) - 1/2。