怎样求前n项和?

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教育能手H
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2023-07-07 · 专注教育,寓教于春风细雨
教育能手H
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n方的前n项和:(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1) :    

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1。

 n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1。    

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1。    

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1。   

把这n个等式两端分别相加,得:    

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n。  

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2。

代入上式得:   

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n。   

整理后得:   

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

用倒序相加法求数列的前n项和:

如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。

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