Question

将函数F(x)=1/(3+x)展开成的x的幂级数,并求出其收敛域

Answer 1

要将函数 F(x) = 1/(3+x) 展开成 x 的幂级数，可以使用泰勒级数展开。首先，我们需要找到函数在某个点的各阶导数。然后，使用泰勒级数公式进行展开。
首先计算函数 F(x) 在 x = 0 处的各阶导数：
F(x) = 1/(3+x)
F'(x) = -1/(3+x)^2
F''(x) = 2/(3+x)^3
F'''(x) = -6/(3+x)^4
接下来，使用泰勒级数公式展开 F(x)：
F(x) = F(0) + F'(0)x + (F''(0)/2!)x^2 + (F'''(0)/3!)x^3 + ...
代入各阶导数的值得到展开式：
F(x) = 1/3 - x/9 + x^2/27 - x^3/81 + ...
根据幂级数的一般形式，我们可以看出该级数的收敛半径为 3，即 |x| < 3。因此，函数 F(x) 的收敛域为 (-3, 3)。