Question

如图,在锐角三角形ABC的边上分别作RT三角形ABP和RT三角形AQC，

如图,在锐角三角形ABC的边上分别作RT三角形ABP和RT三角形AQC，其中∠APB和∠AQC都是直角，点M是BC中点，连PM、QM、PQ，求证 ：△PMQ是等腰直角三角形（这是题目，请各位看一下图片下面是我的问题，谢谢，加分）

图中有一个小m，不管它，是我手抖了输入的一个- -。问一下，条件是不是有问题？如果有问题，请指出一下，如果没有问题，请帮忙解一下。谢谢，辅助线是延长PM至N，使MN=PM，连接CN,QN，然后我想问一下大家△CNQ为什么全等于△AQP？
我在其他的地方看到条件中作的两个三角形都是等腰直角三角形。不过这道题可是选自黄冈市的竞赛题。应该不会有错吧

Answer 1

ABP和AQC应该都是等腰直角三角形；否则，该命题不成立（例如：P点可无限接近B点、Q点可无限接近A点，试问BAM会是等腰直角三角形吗？）。
按图中作辅助线。
易知⊿MNC≌MPB，得NC=PB=PA、 ∠MCN=∠MBP=∠ABC+∠ABP=∠ABC+45º。
∵∠NCQ=360°-∠MCN-∠BCA-∠ACQ=360°-(∠ABC+45º)-∠BCA-45º=270°-(∠ABC+∠BCA)
=270°-(180°-∠BAC)=90°+∠BAC
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=45°+∠BAC+45°=90°+∠BAC
∴∠NCQ=∠QAP，已知QC=QA，已证NC=PA，
∴△CNQ≌△AQP，则NQ=PQ
∵CQ⊥AQ, ∠CQN=∠AQP，∴NQ⊥PQ
∴NPQ为等腰直角三角形。
已知M为PN的中点，
所以：△PMQ是等腰直角三角形。