如图,在锐角三角形ABC的边上分别作RT三角形ABP和RT三角形AQC,

如图,在锐角三角形ABC的边上分别作RT三角形ABP和RT三角形AQC,其中∠APB和∠AQC都是直角,点M是BC中点,连PM、QM、PQ,求证:△PMQ是等腰直角三角形... 如图,在锐角三角形ABC的边上分别作RT三角形ABP和RT三角形AQC,其中∠APB和∠AQC都是直角,点M是BC中点,连PM、QM、PQ,求证 :△PMQ是等腰直角三角形(这是题目,请各位看一下图片下面是我的问题,谢谢,加分)

图中有一个小m,不管它,是我手抖了输入的一个- -。问一下,条件是不是有问题?如果有问题,请指出一下,如果没有问题,请帮忙解一下。谢谢,辅助线是延长PM至N,使MN=PM,连接CN,QN,然后我想问一下大家△CNQ为什么全等于△AQP?
我在其他的地方看到条件中作的两个三角形都是等腰直角三角形。不过这道题可是选自黄冈市的竞赛题。应该不会有错吧
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赫日消霜雪
2013-07-17 · TA获得超过9819个赞
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ABP和AQC应该都是等腰直角三角形;否则,该命题不成立(例如:P点可无限接近B点、Q点可无限接近A点,试问BAM会是等腰直角三角形吗?)。
按图中作辅助线。
易知⊿MNC≌MPB,得NC=PB=PA、 ∠MCN=∠MBP=∠ABC+∠ABP=∠ABC+45º。
∵∠NCQ=360°-∠MCN-∠BCA-∠ACQ=360°-(∠ABC+45º)-∠BCA-45º=270°-(∠ABC+∠BCA)
=270°-(180°-∠BAC)=90°+∠BAC
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=45°+∠BAC+45°=90°+∠BAC
∴∠NCQ=∠QAP,已知QC=QA,已证NC=PA,
∴△CNQ≌△AQP,则NQ=PQ
∵CQ⊥AQ, ∠CQN=∠AQP,∴NQ⊥PQ
∴NPQ为等腰直角三角形。
已知M为PN的中点,
所以:△PMQ是等腰直角三角形。
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