Question

如何证明当n趋进于无穷大时.根号下n平方加1分之一+根号下n平方加2分之1+…+根号下n平方加n分之一等于1

Answer 1

利用夹逼准则，左边大于等于根号下n平方+1分之，右边小于等于根号下n平方+n分之，两边同时取极限即n趋进于无穷大时的极限为1。

当n趋于无穷时，原式值为1

n[√(n^2+1)-√(n^2-1)]

进行分子有理化，分子分母同时乘以一个式子

=n*[√(n^2+1)-√(n^2-1)]*{[√(n^2+1)+√(n^2-1)]/[√(n^2+1)+√(n^2-1)]}

分子利用平方差公式

=n*[(n^2+1)-(n^2-1)]/[√(n^2+1)+√(n^2-1)]

分母[√(n^2+1)+√(n^2-1)]

当n趋于无穷时，分母趋于2n

于是n*[(n^2+1)-(n^2-1)]/[√(n^2+1)+√(n^2-1)]

趋于n*[(n^2+1)-(n^2-1)]/2n=[(n^2+1)-(n^2-1)]/2=2/2=1

所以当n趋于无穷时，原式值为1。

一个数的零次方

任何非零数的0次方都等于1。原因如下

通常代表3次方

5的3次方是125，即5×5×5=125

5的2次方是25，即5×5=25

5的1次方是5，即5×1=5

由此可见，n≧0时，将5的（n+1）次方变为5的n次方需除以一个5，所以可定义5的0次方为：

5 ÷ 5 = 1

Answer 2

我来提示一下吧，利用夹逼准则，左边大于等于根号下n平方+1分之，右边小于等于根号下n平方+n分之，两边同时取极限即n趋进于无穷大时的极限为1.