Question

有关概率的问题。

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，这时命中记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。已知射手在100米处击中目标的概率为1/2，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。1.求这名射手在三次射击中命中目标的概率；2.求这名射手在比赛中得分的数学期望。

Answer 1

解，第一次命中的概率为1/2 由于命中率与距离平方成反比，三次距离只比为2：3：4所以第二次命中概率为1/2×（4/9）=2/9在第三次命中的概率为1/2×（4/16）=1/8 所以在第一次命中的概率为P1=1/2在第二次命中的概率为P2=（1-1/2）x(2/9)=1/9在第三次命中的概率P3=(1-1/2)x(1-2/9)x1/8=7/1442）所以η=3x1/2+2x1/9+7/144=85/48

Answer 2

解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C三次均未命中目标的事件为D．
依题意 ．
设在xm处击中目标的概率为P（x），则 ，
由x=100m时 ，
∴ ，
∴k=5000，
， ， ，
．
（Ⅰ）由于各次射击都是独立的，
∴该射手在三次射击击中目标的概率为 ，

= ．
（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为ξ，
则 ，
，

， ，
∴ξ的分布列为

∴ ．