Question

已知a,b,c是正数,求证a^(2a)b^(2b)c^(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b).

Answer 1

证明 不妨设a≥b≥c>0,则
(a^(2a)*b^(2b)*c^(2c))/(a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b))
=(a^a*b^b*c^c)/(a^((b+c)/2)*b^((c+a)/2)*c^((a+b)/2))
=(a^((a-b)/2+(a-c)/2))*(b^((b-c)/2+(b-a)/2))*(c^((c-a)/2+(c-b)/2))
=((a/b)^((a-b)/2))*((a/c)^((a-c)/2))*((b/c)^((b-c)/2))≥1
故得
a^(2a)b^(2b)c^2(2c)≥a^(b+c)b^(c+a)c^(a+b)

这是我在静心思考后得出的结论，
如果能帮助到您，希望您不吝赐我一采纳~（满意回答）
如果不能请追问，我会尽全力帮您解决的~
答题不易，如果您有所不满愿意，请谅解~

追问

我觉得这个方法更简单------取对数即证
2alna+2blnb+2clnc>=(b+c)lna+(a+c )lnb+(a+b)lnc
假设a>b>c,则lna>lnb>lnc
根据排序不等式
alna+blnb+clnc>=blna+clnb+alnc
alna+blnb+clnc>=clna+alnb+blnc
两式相加，即得证
但还是谢谢你，（其实我已经看过这个之后知道做了。。。） 给你满意吧！！

追答

这当然行，没想到你已经学到这啦，你应该看了竞赛书吧