Question

高二数学：正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是CD和CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角大小

正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是CD和CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角大小_______。

Answer 1

有两种解法，一个是建立直角坐标系，二是按照几何的方法解

（1）如上图1所示，以D为坐标原点，建立直角坐标系，由于这是正方体，所以X，Y，Z轴相互垂直比较好做直角坐标系，设正方体的边长为2，以便于计算，也可以把边长设为其他数值，反正结果都是一样的

A1（0，2，2），M（1，0，0），D（0，0，0），N（2，0，1）（坐标点算好是关键）

设向量A1M=a，向量DN=b

∴a=（1，-2，-2），b=（2，0，1）

∴|a|=√[1²＋(-2)²+(-2)²]=3，|b|=√5

a×b=1*2+(-2)*0+(-2)*1=0

∴a×b=|a|*|b|*cosα（α为两个向量的夹角）

解出cosα=0，α=k*π/2，也就是两个向量垂直

∴异面直线A1M和DN所成的夹角为90°

（2）如图2所示，取BB1的中点F，连接NF，AF，延长BB1，取B1E=B1B/2(也就是BB1的一半)，连接A1E，ME，AM，BM

∵B1F=C1N，B1F∥C1N，∠FB1C1=90°

∴四边形B1FNC1为矩形

∴B1C1=NF，B1C1∥NF→AD=NF，AD∥NF

∴四边形ADNF为平行四边形

∴AF∥DN

∵A1E在面A1ABB1上，A1A=EF=2，AA1∥EF

∴四边形A1AFE为平行四边形

∴A1E∥AF

∴A1E∥DN

∴∠EA1M就是异面直线A1M和DN的夹角

很容易可以求出AM=√5，MB=√5，BE=3，AA1=2，B1E=1，A1B1=2

∴A1E=√5，A1M=3，ME=√14

∴ME²=A1E²+A1M²(即ME为斜边的直角三角形)

∴∠EA1M=90°

∴异面直线A1M和DN所成的夹角为90°