Question

一道很难得高等数学题 跪求解答

设f(x)在x=0的某领域内有连续一阶连续导数，且f'(0)=0,f''(0)存在。求证：
lim(x趋近于0) {f(x)-f[ln(1+x)]}/(x^3)=0.5f''(0)
跪求解答

Answer 1

原题有误，应改为f'(0)未知，证明：lim(x->0){f(x)-f[ln(1+x)]}/(x^2)=(1/2)*f'(0).解答如下：
把f(x),f(ln(1+x)),ln(1+x)在x=0处带Peano余项Taylor展开如下：f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+(1/2)*f''(0)(x-0)^2+o(x^2), f(ln(1+x))=f(0)+f'(0)(ln(1+x)-0)+(1/2)*f''(0)(ln(1+x)-0)^2+o(x^2), ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2);
代入原式得：lim(x->0){f(x)-f[ln(1+x)]}/(x^2)=(1/2)*f'(0)

Answer 2

昨天晚上被老婆叫去睡觉了，没来得及写~~(>_<)~~
首先 把f(x),f(ln(1+x))在x=0处展开成带拉格朗日余项的泰勒展开
f(x)=f(0)+f'(ξ1)x 1）

f(ln(1+x))=f(0)+f'(ξ2)(ln(1+x))
因为ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)
f(ln(1+x))=f(0)+f'(ξ2)（x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)） 2）

将上面2式代入原式，化简过程中注意到 ξ1,ξ2∈（0，x） lim(x->0)f'(ξ1)=f'(ξ2)=f'(x) 则
原式=lim(x->0)1/2f'(x)/x - lim(x->0)1/3f'(x)
=lim(x->0)1/2[f'(x)-f'(0)]/x - 1/3 f'(0) (导数定义+函数连续定义)
=1/2f''(0)+0
=1/2f''(0)

虽然上面“证明”出来了，不过我还是要说题目错了
算出了反例y=x^2+x就不满足题目要求