Question

关于三阶行列式D=Dx=Dy=Dz=0时的根的判断问题

如 x+y+z=1
x+y+z=3
x+y+z=5
此时D=Dx=Dy=Dz=0 但方程显然无解

如 x+y+z=1
2x+2y+2z=2
3x+3y+3z=3
此时D=Dx=Dy=Dz=0 但方程显然有无数解

那么当D=Dx=Dy=Dz=0，怎么一般性的判断方程的根呢？
当满足什么时有无数解，满足什么条件时无解呢？

Answer 1

第一个方程组写成行列式是：1 1 1 11 1 1 31 1 1 5化简行列式得1 1 1 10 0 0 10 0 0 0其中有一行是0 0 0 1相当于0x+0y+0z=1，即0=1，是不成立的式子所以无解第二个行列式是1 1 1 12 2 2 23 3 3 3化简得：1 1 1 10 0 0 00 0 0 0没有上述的情况，且方程数小于未知数个数，则有无穷多的解 行列式解的情况判定是：对于n元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是：R（A）<R（A，b）；有唯一解的充分必要条件是：R（A）=R（A，b）=n；有无限多解的充分必要条件是：R（A）=R（A，b）<n。其中，R是代表对应矩阵的秩