Question

证明矩阵可逆的方法

Answer 1

证明矩阵可逆的方法如下：

看这个矩阵的行列式值是否为0，若不为0，则可逆；看这个矩阵的秩是否为n，若为n，则矩阵可逆；若存在一个矩阵B，使矩阵A使得AB=BA=E，则矩阵A可逆，且B是A的逆矩阵。

对于齐次线性方程AX=0，若方程只有零解，那么这个矩阵可逆，反之若有无穷解则矩阵不可逆；对于非齐次线性方程AX=b，若方程只有特解，那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆。

判断矩阵可逆：

矩阵A的行列式不为0、矩阵A的特征值都不为0，齐次线性方程组Ax=b只有零解。非齐次线性方程组Ax=b只有唯一解。矩阵A的伴随矩阵可逆，则矩阵A也可逆。

矩阵A的转置乘以矩阵A是正定矩阵，矩阵A数域K上n维线性空间中线性变换花体A的一种表达方式，线性变换才是本质。所以如果线性变换是一个双射，那么矩阵A是可逆的严格对角占优矩阵可逆。

可逆矩阵的性质：（λA）^(-1)=λ^(-1)A^(-1) λA是矩阵（）^(-1)是λA的逆矩阵 λ^(-1)是一个数，λ的倒数，1/λ A^(-1)是矩阵，A的逆 λ^(-1)A^(-1)是数1/λ乘矩阵A^(-1)。

李雅普诺夫方程或称李亚普诺夫矩阵方程，是指对于没有外部输入的线性定常连续系统，用以构造李亚普诺夫函数的方程，或使系统原点平衡状态渐进稳定的充分必要条件。