Question

定积分的奇偶性如何求证？

Answer 1

一般有以下几个步骤

1.

利用对称性求解定积分的条件:积分区间是对称区间

2.

观察被积函数的奇偶性，比如对于M=∫[-a,a]

f(x)dx

----表示在-a到a上关于f(x)求定积分

当对于任意的x∈[-a,a]，有f(x)=-f(-x)，即f(x)在[-a,a]上是奇函数时，M=0

当对于任意的x∈[-a,a]，有f(x)=f(-x)，即f(x)在[-a,a]上是偶函数时，M=2∫[0,a]

f(x)dx

上面的方法可以严格地从定积分的定义式(即黎曼和的极限)严格证明，也可以从几何意义加以理解，因为∫[-a,a]

f(x)dx表示在区间[-a,a]上由f(x)围成的曲边梯形的“面积”，其中面积之所以加引号，是因为如果f(x)>0，那就指的是由y=f(x),y=0,x=-a,x=a围成的面积，如果是f(x)<0，那指的是y=f(x),y=0,x=-a,x=a围成的面积的相反数，所以M的值也就指的是在x轴以上的面积减去x轴以下的面积。

于是如果f(x)是奇函数(图像关于原点对称)，在x轴上面的面积等于x轴以下的面积，所以积分为0

如果f(x)是偶函数(图像关于y轴对称)，在y轴两侧的面积相等，所以等于一半区间[0,a]上积分的两倍。