Question

高等数学 向量

高等数学 向量 三重内积

为什么三重内积a·（b×c）可以表示平行六面体的体积？？？
a.b.c为平行六面体一个端点的三条直线。。。

Answer 1

这不叫三重内积，而是混合积：
a·(b×c)一般用：[a,b,c]表示，几何意义：
首先，a·(b×c)是一个标量
其次，[a,b,c]不一定表示平行六面体的体积，准确的说：
是|a·(b×c)|表示平行六面体的体积
应为a、b、c可以组成右手系，也可以组成左手系
只有当a·(b×c)时正数时，才表示平行六面体的体积
第三，|b×c|表示以b和c为邻边的平行四边形的面积
当a、b、c组成右手系时，b×c的方向与a的方向在平面的同一侧(b和c确定的平面)
此时平行六面体的高等于a在b×c上的投影
即：h=|a|*cosα=|a|*(a·(b×c)/(|a|*|b×c|))
而体积：V=Sh=|b×c||a|*cosα=a·(b×c)
左手系时要加绝对值

追问

嗯，，美国书，翻译问题。。

追答

哦，好吧，不是还有个回答吗？，怎么没了？

Answer 2

你要先搞清楚向量（b×c）的含义，它得到的是一个向量，怎么说，方向符合右手法则，而大小为bcsin（b与c边的夹角）值的大小是六边形的底面积，其次，你要明白点积的含义。a与b点积，就是a在向量b方向上的投影乘以b的标量值，那么a与（b×c）点积，就是a在（b×c）方向的投影乘以|（b×c）|，（b×c）就是六面体高的方向，所以最终大小就是六面体的体积。
PS：这个应该是高中数学，不是高等数学吧~