Question

求解一道初中数学题，感激不尽！

在△ABC中，∠BAC=90°，AC=1，P是平面上的一个动点，∠APB=∠ABC=30°，
则线段CP的最小值为

Answer 1

由于 ∠BAC = 90°，因此我们可以利用三角函数来计算 AB 和 BC 的长度。设 AB = x，则有 BC = 1 - x。

在 △ABP 中，∠APB = 30°，因此根据正弦定理，有：

AP/sin∠ABP = BP/sin∠APB = AB/sin∠BAP

即：

AP/sin 60° = BP/sin 30° = x/sin 90°

由于 sin 60° = √3/2 和 sin 30° = 1/2，因此我们可以将上式化简为：

AP = x√3
BP = x/2

注意到 ∠ABC = 30°，因此 △ABC 是一个 30°-60°-90°三角形。因此，BC = 1 - x = 2AB = 2x。

现在考虑点 P 的位置，我们需要最小化线段 CP 的长度。由于线段 CP 是三角形 △ACP 中的一条边，因此可以使用三角不等式得到：

AC + CP > AP
CP + AP > AC
AC + AP > CP

将 AC = 1，AP = x√3，以及 CP = 2x - 1 代入上述不等式，得到：

1 + 2x - 1 > x√3
2x - 1 + x√3 > 1
1 + x√3 > 2x - 1

这三个不等式可以化简为：

2x > √3
x > (1 - √3)/2
x < (1 + √3)/2

注意到我们已经有了 BP = x/2，因此 x 必须是正的。因此，我们可以将上述不等式简化为：

x > (1 - √3)/2
x < (1 + √3)/2

我们需要在这两个限制条件下找到最小的 2x - 1。当 x = (1 - √3)/2 时，有：

2x - 1 = 1 - √3

当 x = (1 + √3)/2 时，有：

2x - 1 = √3 - 1

因此，线段 CP 的最小值为 1 - √3。