Question

大学不学高数

同济上册31,3题第二道
证明lim[(3n+1}/(2n+1)]=3/2
我证明如下要证明lim[(3n+1}/(2n+1)]=3/2
则证|(3n+1)/(2n+1)-3/2|<ε ε为任意正数（ε<1)
则证|-1/(4n+2)|＜ε
则证n>(1-2ε)/4ε
取N=[（1-2ε）/4ε]
所以对任意ε>0当n>N是，都有。。。成立..所以lim[(3n+1}/(2n+1)]=3/2
我想问一下，我的证明对不，还有那里的1-2ε
用不用分ε<1/2之类的，感觉结果会不一样。初学者

Answer 1

是对的，无论ε取到多小的数，都存在N，使不等式成立。所以函数收敛于3/2，也就是它的极限。

当然你也可以这样做(3n+1)/(2n+1)=3/2-1/(4n+2)，所以当n趋于正无穷大时，后式趋于零，所以整天趋于3/2.

还可以应用洛必达法则，因为分子分母同时趋于正无穷大，可以同时分别求导，然后就是3/2.

追问

那用不用分ε<1/2之类的
因为N是正整数，ε<1/2的话，就取到负的，那么这时候N就取1，用不用这样分类？

追答

不要，这样做的关键就是，不论ε取得再小，再怎么样趋近于零，我都可以求得一个特定的大的正整数，满足条件。
其实这一阶段，是为你后来的学习做铺垫的，让你理解极限的定义。

Answer 2

求极限的..一般都不用定义做.....