Question

二重积分为什么能分割区域？

Answer 1

1、二重积分 double integral 是一个原则性、原理性的说法，
具体积分的过程，必须化成二次积分 iterated integral。
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2、化成二次积分后，它就是两次定积分的过程：
第一次的积分，一般是从函数积分到函数；
也会有从一个值积分到一个函数，
或从一个值积分到另一个值。
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第二次的积分，肯定就是一个值积分到另外一个值。
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3、在第一次的积分中，如果不能扫过整个积分区域，
就得再对剩余的区域进行积分，这就是分割。
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也就是说，
分割是没有办法一次性完成积分的情况下，再对剩余
区域进行第二次、第三次、第四次、、、的积分过程。
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4、有时改变坐标系，就可以免去或减少分割的次数。
例如：
在半径从 r = 2 到 r = 4 的环形区域上积分，
如果采用直角坐标系，就必须分割积分区间；
如果采用极坐标，就能一气呵成。
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所以，二重积分的解答，能否积分积得出来，
A、不但取决于被积函数的形式；
B、而且取决于积分区域的形状；
C、甚至还取决于坐标系的选择。
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