Question

1.求幂级数 ∝∑n=1(x^n)/a^n+n 的收敛域,其中a为大于零的常数.

Answer 1

我们要求幂级数∑(x^n)/(a^n+n)的收敛域，其中a是大于零的常数。
首先，我们可以使用根值测试（Root Test）来分析该幂级数的收敛性。

根值测试要求计算项的绝对值的n次方根的极限。如果该极限小于1，那么幂级数收敛；如果该极限大于1，那么幂级数发散；如果该极限等于1，那么无法确定。

对于该幂级数中的项aₙ = (xⁿ)/(aⁿ+n)，我们可以计算其绝对值的n次方根：

|aₙ|^(1/n) = [(xⁿ)/(aⁿ+n)]^(1/n)

= [xⁿ]^(1/n) / [(aⁿ+n)]^(1/n)
根据指数法则，我们有：

[xⁿ]^(1/n) = x

[(aⁿ+n)]^(1/n) = (aⁿ+n)^(1/n)
当n趋向于无穷大时，(aⁿ+n)^(1/n)趋向于a，因为a是一个大于零的常数。

因此，我们可以得到：

|aₙ|^(1/n) = x / a

根据根值测试，该幂级数收敛当且仅当上述极限小于1。因此，我们可以得出以下结论：

x / a < 1

解这个不等式，我们得到：

x < a

因此，该幂级数在x小于a时收敛，在x大于等于a时发散。

综上所述，该幂级数的收敛域是(-∞, a)。