Question

log函数不等式

log以2为底x的对数的平方加log以0.5为底x的对数的两倍减3大于等于0

Answer 1

log2（x）^2+2log0.5(x)-3
令log2（x）=a，所以long0.5（x）=-a
即a^2-2a-3>=0,a>=3或者a<=-1
所以x>=8或者0<x<=0.5

Answer 2

(log₂x)²+2log(0.5)x-3≥0
log(0.5)x=-log₂x
原不等式即
(log₂x)²-2log₂x-3≥0
这是关于log₂x的二次不等式
解得:
log₂x≤-1或log₂x≥3
∴ log₂x≤log₂(1/2)或log₂x≥log₂8
∴0<x≤1/2或x≥8
∴不等式的解集为(0,1/2]U[8,+∞)

Answer 3

显然x>0
由换底公式有log0.5(x)=-log2(x)
令log2(x)=t
则原不等式化为t^2-2t-3≥0
解得t≤-1或t≥3
即log2(x)≤-1或log2(x)≥3
即log2(x)≤log2(1/2)或log2(x)≥log2(8)
注意到函数y=log2(x)为增函数
于是x≤1/2或x≥8

追问

我知道了，但是log0.5(x)=-log2(x)这一步应该不是换底公式吧

追答

用换底公式肯定能变出来：log0.5(x)=log2(x)/log2(0.5)=log2(x)/log2(2^-1)=-log2(x)。结果应该结合x>0写成：0<x≤1/2或x≥8

Answer 4

[log2(x)]²+2log0.5(x)-3≥0
[log2(x)]²-2log2(x)-3≥0
[log2(x)-3][log2(x)+1]≥0
log2(x)≥3或log2(x)≥-1
∴x≥8或0<x≤0.5
∴此不等式的解集为{x|x≥8或0<x≤0.5}

Answer 5

log以2为底x的对数 = y
log以0.5为底x的对数 = -y
不等式化为 y^2-2y-3