Question

如图，等腰rt△abc中，d为ab的中点，e为ac上一点，f为bc上的一点，且ed⊥df，求证：de=df

Answer 1

连接CD，

∵D为等腰直角三角形ABC斜边中点，

∴CD⊥AB，∠A=∠B=45°，∠DCB=45°，CD=AD=1/2AB

∴∠2+∠3=90°，

∵DE⊥DF，∴∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

在ΔADE与ΔCDF中，

∠A=∠DCB=45°，AD=CD，∠3=∠1，

∴ΔADE≌ΔCDF，

∴DE=DF。

Answer 2

证明：连接CD
∵∠ACB＝90,AC＝BC
∴∠A＝∠B＝45
∵D为AB的中点
∴AD＝CD＝BD（直角三角形中线特性），∠BAD＝∠ACB/2＝45,CD⊥AB（三线合一）
∴∠BCD＝∠A，∠ADE+∠CDE＝90
∵ED⊥DF
∴∠CDF+∠CDE＝90
∴∠ADE＝∠CDF
∴△ADE≌△CDF （ASA）
∴DE＝DF

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Answer 3

连接CD，
因为在等腰rt△abc中，
所以AC=BC，∠C=90°
又因为ed⊥df，
所以∠C=∠DFB=90° 又因为∠C是公共角
所以△ACB∽△CFB
所以∠FDB=∠CAB
所以得到CA平行于DF即CE平行于DF 所以∠CED=90°
即ED⊥AC
又因为D为AB的中点
所以CD是顶角的平分线（三线合一）
因为CD是顶角的平分线 ED⊥AC ed⊥df【 角平分加两⊥会有线段等（垂直平分线的性质）】
所以DE=DF
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Answer 4

连接AD
∵D为AB中点，△ABC为RT等腰
∴AD=DB，AD⊥DB，∠B=45°，∠ECD=45°（等腰三角形三线合一）
∵∠EDC+∠CDF=90°，∠CDF+∠FDB=90°
∴∠EDC=∠FDB
在△EDC与△FDB中
∠ECD=∠B
∠EDC=∠FDB
CD=BD
∴△EDC≌△FDB
∴ED=FD