Question

已知函数f(x)=Asin(x+φ)(a>0,0<φ<π)x∈R的最大值是1,其图像经过点M

已知函数f(x)=Asin(x+φ)(a>0,0<φ<π)x∈R的最大值是1,其图像经过点M(π/3,1/2)
（1）求f（x）的解析式
（2）已知α，β∈（0，π/2），且f（α）=3/5，f（β）＝12/13，求f（α-β）的值

Answer 1

已知函数f(x)=Asin(x+φ)(a>0,0<φ<π)x∈R的最大值是1,其图像经过点M(π/3,1/2)
（1）求f（x）的解析式
（2）已知α，β∈（0，π/2），且f（α）=3/5，f（β）＝12/13，求f（α-β）的值
(1)解析：∵函数f(x)=Asin(x+φ)(a>0,0<φ<π)x∈R的最大值是1
∴A=1
∴f(x)=sin(x+φ)
x+φ=2kπ+π/2=x=2kπ+(π-2φ)/2
∵其图像经过点M(π/3,1/2)
π/3+φ=π/6==>φ=-π/6，π/3+φ=5π/6==>φ=π/2
∵0<φ<π
∴f(x)=sin(x+π/2)
(2)解析：∵α，β∈（0，π/2），且f（α）=3/5，f（β）＝12/13，
f(α)=sin(α+π/2)=3/5==>cosα=3/5==>sinα=4/5
f(β)=sin(β+π/2)=12/13==>cosβ=12/13==>sinβ=5/13
f(α-β)=sin(α-β+π/2)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=36/65+20/65=56/65

Answer 2

sin函数最大为1，又f(x)最大值为1，则A=1.经过点M则1/2=sin(π/3+φ)，a>0,0<φ<π，则φ=-π/6，故f(x)=sin(x-π/6)
f（α-β）将α、β解出代入即可。或者用和差化积公式

Answer 3

因为最大值是所以A等于1
然后过点M代入求（FAI）
把（阿尔法-β）代入函数式
变成含有f（α） ， f（β）的式子，然后代入计算
对于α，β∈（0，π/2）是来判断正负号的