Question

设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且0<α<β<π,a·b=4/5,tanβ=4/3,求tanα的值

求详解

Answer 1

a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β)=4/5
0<α<β<π，即：-π<α-β<0，而：cos(α-β)>0
即：-π/2<α-β<0
故：sin(α-β)=-3/5
即：tan(α-β)=-3/4
即：(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=-3/4
即：(3tanα-4)/(3+4tanα)=-3/4
即：tanα=7/24

Answer 2

a·b = cosα·cosβ+sinα·sinβ = cos(β-α) = 4/5
因为0<α<β<π，所以0<β-α<π
所以tan(β-α) = 3/4 或者 tan(β-α) = -3/4
即(tanβ-tanα)/(1+tanβ·tanα) = 3/4 或者 (tanβ-tanα)/(1+tanβ·tanα) = -3/4
将tanβ的值代入上式，求得：tanα = 7/24 或者 4/3 = -3/4
后者明显不成立，所以tanα = 7/24