Question

第三问求解

Answer 1

设二次函数为：y=ax^2+bx+m
经过点(1,0)，(2,1)，代入得到：
a+b+m=0 ===> a+b=-m ===> 2a+2b=-2m
4a+2b+m=1 ===> 4a+2b=1-m
两式相减得到：2a=(1-m)+2m=m+1
所以，a=(m+1)/2
代入得到：b=-a-m=-(m+1)/2-m=-(3m+1)/2
所以：y=[(m+1)/2]x^2-[(3m+1)/2]x+m
它与直线y=-x+1相交，有两个交点，设为(x1,y1)和(x2,y2)
联立得到：[(m+1)/2]x^2-[(3m+1)/2]x+m=-x+1
===> (m+1)x^2-(3m+1)x+2m=-2x+2
===> (m+1)x^2-(3m+1)x+2x+2m-2=0
===> (m+1)x^2-(3m-1)x+2(m-1)=0
上述一元二次方程的两个实数根就是直线与抛物线两个交点的横坐标
所以：x1+x2=(3m-1)/(m+1)，x1x2=2(m-1)/(m+1)
那么：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=[(3m-1)/(m+1)]^2-8(m-1)/(m+1)
=[(3m-1)^2-8(m-1)(m+1)]/(m+1)^2
=(9m^2-6m+1-8m^2+8)/(m+1)^2
=(m^2-6m+9)/(m+1)^2
而，y1=-x1+1，y2=-x2+1
所以，y1-y2=(-x1+1)-(-x2+1)=-(x1-x2)
所以，(y1-y2)^2=[-(x1-x2)]^2=(x1-x2)^2
那么，这两个交点之间的线段长度=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=√[2(x1-x2)^2]=2√2
===> (x1-x2)^2=4
===> (m^2-6m+9)/(m+1)^2=4
===> m^2-6m+9=4(m+1)^2=4m^2+8m+4
===> 3m^2+14m-5=0
===> (3m-1)(m+5)=0
===> m=1/3，或者m=-5.