Question

值域怎么求

y=X^2-X／X^2-X+1 详细过程

Answer 1

解：
一般解法：y=(x²-x)/(x²-x+1)
y(x²-x+1)=x²-x
yx²-yx+y-x²+x
(y-1)x²-(y-1)x+y=0

因为原函数定义域为一切实数，所以关于x的方程有实数解
所以 △=(y-1)²-4y(y-1)≥0
(y-1)(-3y-1)≥0
y-1≥0，-3y-1≥0或y-1≤0，-3y-1≤0
y≥1，y≤-1/3，或 y≤1，y≥-1/3
所以不等式解集 -1/3≤y≤1

所以函数值域 -1/3≤y≤1

特殊解法：
发现分子和分母中都有x²-x，故取倒数
1/y=(x²-x+1)/(x²-x)
=1+【1/(x²-x)】

因为 x²-x=(x²-x+1/4)-1/4=(x-1/2)²-1/4
所以 -1/4≤x²-x≤+∞
所以 -4≤1/(x²-x)≤0
所以 -3≤1+【1/(x²-x)】≤1
所以 -3≤1/y≤1
所以 -1/3≤y≤1

总结：对于y=(ax²+bx+c)/(dx²+ex+f)求值域
一般化成y(dx²+ex+f)=(ax²+bx+c)
(dy-a)x²+(ey-b)x+(f-c)=0
利用 △≥0，解一元二次不等式求出答案

若恰好有 a/d=b/e（即ax²+bx整除dx²+ex）
可化成 y=k+【t/(dx²+ex+f)】的形式（k=a/d=b/e，t为常数）
求解

Answer 2

是 y=(x^2-x)/(x^2-x+1) 吗？？用判别式法。

去分母得 y(x^2-x+1)=x^2-x ，
化为 (y-1)x^2-(y-1)x+y=0 ，
显然 y=1 时，方程不成立；
y ≠ 1 时，判别式=(y-1)^2-4y(y-1)>=0 ，
所以 3y^2-2y-1<=0 ，
分解因式得 (y-1)(3y+1)<=0 ，
解得 -1/3<=y<=1 ，
因此，函数值域为｛y | -1/3<=y<1｝，用区间表示是 [ -1/3 ，1）。