若函数f<x>=1/3x^3+ax^2+5x+6在区间《1，3》上为单调函数，则实数a的取值范围是？
我想用分类讨论的方法求出来。假如为单调递增我求出，a>根号5.但是假如单调递减我得出a<-7\3.而答案是a<-3.我不知道错在哪里了...
我想用分类讨论的方法求出来。假如为单调递增我求出，a>根号5.但是假如单调递减我得出a<-7\3.而答案是a<-3.我不知道错在哪里了
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1个回答
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答：
f(x)=x³/3+ax²+5x+6在区间[1,3]上是单调函数
求导：
f'(x)=x²+2ax+5
即导函数f'(x)在区间[1,3]上符号相同
1）当对称轴x=-a<=1即a>=-1时，抛物线f'(x)在区间[1,3]上单调递增
f'(x)>=f'(1)=1+2a+5>=0或者f'(x)<=f'(3)=9+6a+5<=0
解得：a>=-3或者a<=-7/3
结合a>=-1得：a>=-1
2）当对称轴1<x=-a<3即-3<a<-1时，f'(x)>=f'(-a)=a²-2a²+5=-a²+5>=0
-√5<=a<=√5
或者f'(1)=6+2a<=0，f'(3)=14+6a<=0，无解
所以：-√5<=a<=-1
3）当对称轴x=-a>=3即a<=-3时，抛物线f'(x)在区间[1,3]上单调递减
f'(x)<=f'(1)=6+2a<=0，a<=-3
综上所述，a<=-3或a>=-√5时，f(x)在区间[1,3]上是单调函数
a<=-3时是单调减函数，a>=-√5时是单调增函数。
f(x)=x³/3+ax²+5x+6在区间[1,3]上是单调函数
求导：
f'(x)=x²+2ax+5
即导函数f'(x)在区间[1,3]上符号相同
1）当对称轴x=-a<=1即a>=-1时，抛物线f'(x)在区间[1,3]上单调递增
f'(x)>=f'(1)=1+2a+5>=0或者f'(x)<=f'(3)=9+6a+5<=0
解得：a>=-3或者a<=-7/3
结合a>=-1得：a>=-1
2）当对称轴1<x=-a<3即-3<a<-1时，f'(x)>=f'(-a)=a²-2a²+5=-a²+5>=0
-√5<=a<=√5
或者f'(1)=6+2a<=0，f'(3)=14+6a<=0，无解
所以：-√5<=a<=-1
3）当对称轴x=-a>=3即a<=-3时，抛物线f'(x)在区间[1,3]上单调递减
f'(x)<=f'(1)=6+2a<=0，a<=-3
综上所述，a<=-3或a>=-√5时，f(x)在区间[1,3]上是单调函数
a<=-3时是单调减函数，a>=-√5时是单调增函数。
更多追问追答
追问
对称轴小于1时 ，为什么一定单调递增？比一定吧。假如当x=1时，导函数小于0，那还是先递减啊
追答
因为：f'(x)=x²+2ax+5是开口向上的抛物线
建议你做这种题目的时候在草稿纸上能简单绘制一下图像，方便解题
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