Question

数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)

数列{an}满足sn=2n-an(n∈N*)
（1）计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想
（2）若数列{bn}满足bn=2^n-1×an，求证：1/b1+1/b2+1/b3+···+1/bn＜5/3
请详细说明第二小问

Answer 1

1.
a1=S1=2×1-a1=2-a1 2a1=2 a1=1
S2=a1+a2=a2+1=2×2-a2=4-a2 2a2=3 a2=3/2
S3=a1+a2+a3=a3+5/2=2×3-a3 2a3=7/2 a3=7/4
S4=a1+a2+a3+a4=a4+17/4=2×4-a4 2a4=15/4 a4=15/8
a1=1=(2-1)/2^0 a2=3/2=(2²-1)/2 a3=7/4=(2³-1)/2² a4=15/8=(2⁴-1)/2³
猜想：an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
证：
n=1时，a1=(2-1)/1=1表达式成立。
假设当n=k(k∈N+)时，表达式成立，即ak=(2^k -1)/2^(k-1)，则当n=k+1时，
Sk=2k-ak=2k-(2^k -1)/2^(k-1)
S(k+1)=Sk+a(k+1)=2(k+1)-a(k+1)
a(k+1)=(k+1)-(Sk)/2=k+1-k+(2^k -1)/2^k=(2^k -1)/2^k +1=(2×2^k -1)/2^k=[2^(k+1) -1]/[2^(k+1-1)]
表达式同样成立，k为任意正整数，因此对于任意正整数n，表达式恒成立。
数列{an}的通项公式为an=(2ⁿ-1)/2^(n-1)
2.
bn=2^(n-1) an=2^(n-1) [(2ⁿ-1)/2^(n-1)]=2ⁿ-1

n≥1 2ⁿ-1≥1>0，数列{bn}各项均为正。
1/bn=1/(2ⁿ-1)
1/b1=1/(2-1)=1<5/3，即n=1时，不等式成立。
1/b2=1/(2²-1)=1/3
[1/b(n+1)]/(1/bn)
=(2ⁿ-1)/[2^(n+1) -1]
=(1/2)[2^(n+1)-2]/[2^(n+1)-1]
=(1/2)[2^(n+1)-1-1]/[2^(n+1)-1]
=(1/2)[1- 1/[2^(n+1) -1]]
=1/2 -1/[2^(n+2)-2]
<1/2 /进行了缩放
n≥2时，
1/b1+1/b2+1/b3+...+1/bn
<(1/b1)+(1/b2)+(1/b2)×(1/2)+...+(1/b2)×(1/2)^(n-2)
=1+(1/3)×[1-(1/2)^(n-1)]/[1-(1/2)]
=1+(2/3)[1-(1/2)^(n-1)]
=5/3 -(2/3)(1/2)^(n-1)
<5/3，不等式成立。
综上，得1/b1+1/b2+...+1/bn<5/3，不等式成立。

提示：第二问其实很简单，需要知道缩放的数学思想。得到[1/b(n+1)]/(1/bn)<1/2后，就可以用学过的等比数列求和的方法进行解决，另外，由于以1/b1为首项，无法证明<5/3，因此将1/b1单列，以1/b2为首项，因此又需要分n=1和n≥2的两种情况讨论。

Answer 2

(1)a1=1,
a2=3/2,
a3=7/4,
a4=15/8
猜想：an=(2^n)-1/2^(n-1)
证明
(1)当n=1时
S1=a1=2*1-a1，解的a1=1, a1=2^1-1/2^(1-1)=1
1=1,所以当n=1时，等式成立
（2）假设当n=k时
ak=2k-Sk=(2^k)-1/2^(k-1)，等式成立
当n=k+1时
ak+1=2*(k+1)-Sk+1
ak=2k-Sk
上式减下式得ak+1=1/2*(2+ak)
把ak=(2^k)-1/2^(k-1)带入得到
ak+1=(2^k+1)-1/2^k，k∈正整数
综合（1）（2）可得，证得an=(2^n)-1/2^(n-1)，n∈正整数

3）用极限来证明吧！高中的问题好难！
∑1/(2^n-1)= ∑1/2^n*1/(1-1/2^n)<1+∑1/2^(n+1)*4/3<5/3

Answer 3

（1）Sn=2n-an

Sn-1=2(n-1)-a(n-1)
用Sn-Sn-1得an=2-a
a1=1,a2=0,a3=-1,a4=-2
(2) bn=2^n-1×an=2^n-1×(2-a)=2^n-2^n-1×a

Answer 4

sn=2n-an
s(n-1)=2(n-1)-a(n-1)
两式想减得
an=2n-an-(2(n-1)-a(n-1))
=2n-an-2n+2+a(n-1)
=-an+2+a(n-1)
2an=a(n-1)+2
2an-4=a(n-1)-2
an-2=1/2*(a(n-1)-2)
所以an-2是公比为1/2的等比数列
当n=1时
s1=2*1-a1
2a1=2
a1=1
所以a1-2=-1
an-2=-1*(1/2)^(n-1)
an=2-(1/2)^(n-1)