Question

A,B,C是平面上不共线上三点,动点P满足 ,则P的轨迹一定通过 的

Answer 1

你解这道题时，千万不要想得太复杂。选择题只须找出答案即可。你知道：坐标无论如何平移和旋转，动点P满足的关系式都是成立的。所以，你可以设原点为AB中点O，以OC为正向纵轴建立平面坐标系，那个关系式可大大简化。显然此时，向量OA和向量OB等大反向，即(1-λ)OA+(1-λ)OB=0，而向量OP=(1+2λ)/3OC这时通过中线OC，即P在中线CO上。由于A内心是三条角平分线交点，垂心B是三边垂线交点，如果三角形不是等腰三角形，垂心、中心不会在中线上，所以排除A、B。但0<|向量OP|=(1+2λ)/3|OC|≠0，通过中线的可能包括C重心，但向量OP的模不等于零就意味着P点不可能是AB中点，故排除D而选择C。

追问

不好意思，本想点击你的为最佳答案的。一时糊涂弄错。。。对不起！谢谢的答案

追答

没关系的。只要我的回答对您有所帮助就好！有没有确认采纳，不是最要紧的事情。只是说明：做选择题时间有限，千万不要去详细证明，可充分利用不违背题意的特例来做，可使得结题过程大大简化，很多时候需要用排除法。其实此题还是有一个小失误，就是λ=0时，OP|=1/3|OC|,P点恰为重心，但题目要求不能取λ=0,所以应该排除C。当P就是AB中点O时，λ= -0.5≠0，符合题意，故应该选D，我觉得标准答案是错的。我假设|向量OP|>0也是没有根据的。

Answer 2

3OP=OA+OB+OC+λ(2OC-OA-OB)
注意到OA+OB+OC可用重心替换，令△重心为Q，
则OA+OB+OC=3OQ
3OP=3OQ+λ(BC+AC)
3QP=λ(AB+AC),而BC+AC=3QC
于是3QP=3λQC
于是点C,P,Q三点共线。于是过AB中点
这选D呢。告诉λ≠0了
【也可开始就否定重心，λ=0，3OP=OA+OB+OC=3OQ,得QP=0，此时P为△重心】