Question

求证:若a,b.c为三角形的三边长,且a+b+c=1.则a²+b²+c²+4abc<1/2

Answer 1

由a, b, c为三角形三边, 有a+b-c > 0, b+c-a > 0, c+a-b > 0.
相乘得(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) > 0, 展开得a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca² > a³+b³+c³+2abc ①.
于是由a+b+c = 1, 有2(a²+b²+c²+4abc) = 2(a²+b²+c²)(a+b+c)+8abc
= 2(a³+b³+c³)+2(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+8abc
= a³+b³+c³+2(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc+(a³+b³+c³+2abc)
< a³+b³+c³+3(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc (由①)
= (a+b+c)³
= 1,
即a²+b²+c²+4abc < 1/2.

不等式①在证明某些以构成三角形三边为条件的不等式时很好用.
因为在a, b, c > 0的前提下, ①是a, b, c构成三角形三边的充要条件.
上述证明的思路就是用a+b+c = 1的条件将不等式化为齐次不等式, 然后用①证明之.

Answer 2

简单，你只要知道隐藏条件a+b大于c就好做了

追问

知道了怎么做啊

追答

有QQ么，我这打符号 不方便··

追问

已经解出来了，谢谢