Question

在四边形ABCD中，AD平行BC，角BAC=角D，点E，F分别在BC，CD上，且角AEF=角ACD，AB=BC，则AE与EF之间的...

在四边形ABCD中，AD平行BC，角BAC=角D，点E，F分别在BC，CD上，且角AEF=角ACD，AB=BC，则AE与EF之间的数量关系是什么？(写过程喔)

Answer 1

解：（1）AE=EF；
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H．
则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC=AC，∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°，
∴EH=EC．
∵AD‖BC，∴∠FCE=180°-∠B=120°，
又∠AHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠AHE=∠FCE，
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化．
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H，则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC
∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°．
∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（3）猜想：（1）中的结论发生变化．
证明：过点E作EH‖AB交AC于点H．
由（2）可得∠EAC=∠EFC，
∠AHE=∠DCB=∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF=EH：EC，
∵EH‖AB，
∴△ABC∽△HEC，
∴EH：EC=AB：BC=k，
∴AE：EF=k，
∴AE=kEF．

Answer 2

解：（1）AE与EF之间的数量关系为AE=EF；
（2）猜想：（1）中得到的结论没有发生变化，如图，
过点E作EH∥AB交AC于点H，则∠BAC+∠1=180°，∠BAC=∠2，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EH=EC，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCB=180°，
∵∠BAC=∠D，
∴∠1=∠DCB=∠ECF，
∵∠4=∠5，∠AEF=∠ACF，
∴∠6=∠7，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；
（3）猜想：AE=kEF，如图，
过点E作EH∥AB，交AC于点H，则△HEC∽△ABC，
∴HE：AB＝EC：BC，
∴HE：EC＝AB：BC＝k
同（2）可证∠AHE=∠FCE，∠EAH=∠CFE，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF=EH：EC=k，即AE=kEF。

Answer 3

由条件平行四边形，角BAC=角D，AB=BC，可知三角形abc和acd为等边三角形，
角AEF=角ACD，可知e，f是在bc，cd的端点上，所以AE=EF